函数奇偶性

第一篇:函数奇偶性

函数奇偶性 (一) 函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法

第一种方法

利用奇、 偶函数的定义, 主要考查 f (x) 是否与 ? f (x) 、 f (x) 相等, 判断步骤如下

①、 定义域是否关于原点对称; ②、 数量关系 f (? x) ? ? f ( x) 哪个成立; 例 1:判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、 f ( x) ? x 3 ? 2x ⑶、 f ( x) ? x3 ? x2 x ?1 ⑵、 f ( x) ? 2 x 4 ? 3x 2 ⑷、 f ( x) ? x 2 x ? ?? 1,2? ⑸、 f ( x) ? x ? 2 ? 2 ? x 解:⑴为奇函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑹、 f ( x) ? x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 ⑶为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 ⑵为偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ? x 2 ( x ? 0) 例 2:判断函数 f ( x) ? ? 2 的奇偶性。

? x ( x ? 0) ? 解

f (0) ? 0 2 ? ? f ( x) 当x ? 0,即 ? x ? 0时, 有f (? x) ? ?(? x) 2 ? ? x 2 ? ? f ( x) 当x ? 0,即 ? x ? 0时, 有f (? x) ? (? x) 2 ? ?(? x) 2 ? ? f ( x) ? 总有f (? x) ? f ( x),故f ( x)为奇函数. 第二种方法:利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 (前提条件为两个函数的定 义域交集不为空集) 两个奇函数的代数和是奇函数;两个偶函数的和是偶函数;

奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数;两个奇函数的积为偶函数;两个 偶函数的积为偶函数;奇函数与偶函数的积是奇函数。

(二) 关于函数按奇偶性的分类 全体实函数可按奇偶性分为四类:①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函 数、④非奇非偶函数。

(三) 关于函数奇偶性的简单应用 1、利用奇偶性求函数值 例 1:已知 f ( x) ? x 5 ? ax3 ? bx ? 8 且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ? 练习题

1、已知 为奇函数, ,则 = . 2、若 ? (x) ,g(x)都是奇函数, f ( x) ? a? ( x) ? bg( x) ? 2 在(0,+∞)上有最 大值 5,则 f(x)在(-∞,0)上有( A.最小值-5 B.最大值-5 ) C.最小值-1 D.最大值-3 3、设函数 ? f ?x?是奇函数,若 ?? 2? ? f ??1? ? 3 ? f ?1? ? f ?2? ? 3,则f ?1? ? f ?2? ? y f 2、利用奇偶性比较大小 例 2:已知偶函数 f (x) 在 ?? ?,0? 上为减函数,比较 f (?5) , f (1) , f (3) 的大小。

3.利用奇偶性求解析式 例 3:已知 f (x) 为偶函数 当0 ? x ? 1时, f ( x) ? 1 ? x,当 ? 1 ? x ? 0时 ,求 f (x) 的解 析式 . 练习题

1、已知 y=f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x) =(1-x)x,则当 x<0 时,f(x)的解析式 为__________. 1 2、已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若 f ( x) ? g ( x) ? ,则 f(x) x ?1 的解析式为_______; g(x)的解析式是_________. 3、已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x3+2x2—1,求 f(x)在 R 上的表达式. 4、利用奇偶性讨论函数的单调性 例 4:若 f ( x) ? (k ? 2) x 2 ? (k ? 3) x ? 3 是偶函数,讨论函数 f (x) 的单调区间。 练习题 1.f(x)是定义在(-∞,-5] ? [5,+∞)上的奇函数,且 f(x) 在[5,+∞)上单调递减,试判断 f(x)在(-∞,-5]上的单调性,并用 定义给予证明. 5、利用奇偶性判断函数的奇偶性 例 5:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 是偶函数,判断 g ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 的奇偶性。 6、利用奇偶性求参数的值 例 6

定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f (x) 在 (??,0) 是 单 调 递 减 , 若 f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) ,则 a 的取值范围是如何? 练习题

1、设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1 -m)<f(m) ,求实数 m 的取值范围. 2、设定义在[-3,3]上的偶函数 f(x)在[0,3]上是单调递增,当 f(a-1)<f(a) 时,求 a 的取值范围. 7、利用图像解题 例 7(2004.上海理)设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若 当 x ∈ [0,5] 时 , f(x) 的 图 象 如 右 图 , . 则不等式 f ?x ? ? 0 的解是 8.利用定义解题 例 8.已知函数 f ( x) ? a ? 1 . ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。

2 ?1 x 练习题

1、已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] , 则( ) 1 A. a ? ,b=0 B.a=-1,b=0 C.a=1,b=0 D.a=3,b=0 3 2、若 y=(m-1)x2+2mx+3 是偶函数,则 m=_________. x?a 3、若函数 f ( x) ? 2 在 ??1,1? 上是奇函数,则 f ( x) 的解析式为________. x ? bx ? 1 4、已知f ?x ? ? ax2 ? bx ? 3a是定义在?b ? 1,3b ? 2?上的奇函数,则 ? a ,b ? .

第一篇:函数奇偶性

函数的奇偶性的归纳总结 函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求

考纲要求:了解函数的奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。

教学目标 目标

教学目标:1、理解函数奇偶性的概念; 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法; 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法; 4、培养学生观察和归纳的能力,培养学生勇于探索创新的精神。

教学重点 重点

教学重点:1、理解奇偶函数的定义; 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法,并探索其中简单的规律。

教学难点 难点

教学难点:1、对奇偶性定义的理解; 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。

教学过程 过程

教学过程

知识要点

一、知识要点: 1、函数奇偶性的概念 一般地,对于函数 f (x ) ,如果对于函数定义域内任意一个 x ,都有 f ( ? x ) = f ( x ) , 那么函数 f (x ) 就叫做偶函数。

一般地,对于函数 f (x ) ,如果对于函数定义域内任意一个 x ,都有 f ( ? x ) = ? f ( x ) , 那么函数 f (x ) 就叫做奇函数。 理解

(1)奇偶性是针对整个定义域而言的,单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概 念的区别之一就是,奇偶性是一个“整体”性质,单调性是一个“局部”性质; (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类,函数可分为四类

奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象: 奇函数 ? 图象关于原点成中心对称的函数,偶函数 ? 图象关于 y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质

①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必 要条件是其定义域关于原点对称) 。

②常用的结论:若 f(x)是奇函数,且 x 在 0 处有定义,则 f(0)=0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同,最值相反。奇函 数 f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增(减) ,则 f(x)在区间[-b,-a]上也是单调递增(减) ; 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反,最值相同。偶函数 f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增(减) ,则 f(x)在区间[-b,-a]上单调递减(增) ④任意定义在 R 上的函数 f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

⑤若函数 g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,则 u=g(x),y=f(u)都是奇函数 时,y=f[g(x)]是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y= f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是

内偶则偶,内奇同外 “内偶则偶 内奇同外”. 内偶则偶, 5、判断函数奇偶性的方法: ⑴、定义法:对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x,都有 f (? x) = f ( x) 〔或 或 f (? x ) ? f ( x ) = 0 〕 ? 函数 f(x)是偶函数; 对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x,都有 f (? x) = ? f (x) 〔或 f (? x) =1 f ( x) f (? x) + f (x ) = 0 ? 函数 f(x)是奇函数; 判断函数奇偶性的步骤

①、判断定义域是否关于原点对称; ②、比较 f (? x ) 与 f (x ) 的关系。

③、扣定义,下结论。 f (? x) = ?1 或 f (x) ⑵、图象法:图象关于原点成中心对称的函数是奇函数;图象关于 y 轴对称的函数 是偶函数。

, ⑶、运算法:几个与函数奇偶性相关的结论

①奇函数+奇函数=奇函数;偶函数+偶函数=偶函数; ②奇函数×奇函数=偶函数;奇函数×偶函数=奇函数。

③若 f ( x ) 为偶函数,则 f ( ? x ) = f ( x ) = f (| x |) 。

二、典例分析 函数解析式判断其奇偶性

解析式判断 1、给出函数解析式判断其奇偶性

分析:判断函数的奇偶性,先要求定义域,定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数, 若定义域关于原点对称,再看 f(-x)与 f(x)的关系. 【例 1】 判断下列函数的奇偶性

(1). f ( x ) = x ? 2 x + 1 ; 2 (2) . f ( x ) = 解

f ( x ) 函数的定义域是 ( ? ∞ , ∞ ) , + ∵ f ( x ) = x 2 ? 2 x + 1 ,∴ x2 + 2 ? x+3 ? , x∈?x ≥ 0? ; x ? x?3 ? f ( ? x ) = ( ? x )2 ? 2 ? x + 1 = x 2 ? 2 x + 1 = f ( x ) , ∴ f ( x ) = x 2 ? 2 x + 1 为偶函数。

(法 2—图象法):画出函数 f ( x ) = x 2 ? 2 x + 1 的图象如下: 由函数 f ( x ) = x 2 ? 2 x + 1 的图象可知, f ( x ) = x 2 ? 2 x + 1 为偶函数。 说明:解答题要用定义法判断函数的奇偶性,选择题、填空题可用图象法判断函数 说明 的奇偶性。

(2) . 解:由 x+3 ≥ 0 ,得 x∈(-∞,-3]∪(3,+∞). x?3 ∵定义域不关于原点对称,故是非奇非偶函数. 【例 2】 判断下列函数的奇偶性: 1 ? x0 4 ? x2 3π (1). f ( x ) = 。

; (2) . f ( x ) = 3sin( ? 2 x ); (3). f ( x ) = 2 x+3 ?3 x ?1 2 解

(1).由 ? ? 4 ? x2 ≥ 0 ? ?2 ≤ x ≤ 2 ? ,解得 ? ? x+3 ?3≠0 ? x ≠ 0 且 x ≠ ?6 ? 4 ? x2 4 ? x2 ∴定义域为-2≤x<0 或 0<x≤2,则 f ( x ) = ;. - < < = x+ 3?3 x ∴ f (? x ) = 4 ? ( ? x )2 = ?x 4 ? x2 = ? f ( x) ; . x 4 ? x2 ∴ f ( x) = 为奇函数. x+3 ?3 说明:对于给出函数解析式较复杂时,要在函数的定义域不变情况下,先将函数解 说明 析式变形化简,然后再进行判断。

(2) .函数 f ( x ) = 3sin( ∵ f ( x ) = 3sin( 3π ? 2 x ) = ? 3cos 2 x , 2 ∴ f ( ? x ) = ? 3 cos 2( ? x ) = ? 3 cos 2 x = f ( x ) , 3π ∴ 函数 f ( x ) = 3sin( ? 2 x ) 为偶函数。

2 ? x≠0 ? x≠0 (3). 由 ? 2 ,解得 ? ,∴ 函数定义域为 { x ∈ R x ≠ 0 , x ≠ ± 1} , ?x ?1 ≠ 0 ?x ≠ ±1 1 ? x0 1?1 又∵ f ( x ) = 2 = 2 = 0 ,∴ f ( ? x ) = 0 , x ?1 x ?1 ∴ f (? x ) = f ( x ) 且 f (? x ) = ? f ( x ) , 1 ? x0 1?1 所以 f ( x ) = 2 = 2 = 0 既是奇函数又是偶函数。

x ?1 x ?1 【例 3】 判断下列函数的奇偶性: 3π ? 2 x ) 定义域为 R, 2 ? x (1 ? x ) , ( x > 0) ? (1). f ( x ) = log 0.5 ( x + x + 1) ;(2). f ( x ) = ? 0 , ( x = 0) ? ? x (1 + x ) , ( x < 0) 2 解:(1) . 定义域为 R, ( ∵ f ( ? x ) + f ( x ) = log 0.5 ( ? x + ( ? x )2 + 1) + log 0.5 ( x + x 2 + 1) - - = log 0.5 (( x 2 + 1) ? x ) = log 0.5 1 = 0 ,∴ f(-x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数。

说明

说明 给出函数解析式判断其奇偶性,一般是直接找 f ( ? x ) 与 f ( x ) 关系,但当直 接找 f ( ? x ) 与 f ( x ) 关系困难时,可用定义的变形式

f (? x ) ? f ( x ) = 0 ? 函数 f(x) 是偶函数; f (? x) + f (x ) = 0 ? 函数 f(x)是奇函数。

(2) .函数的定义域为 R, 当 x > 0 时, ? x < 0 , f ( ? x ) = ( ? x )(1 ? x ) = ? x (1 ? x ) = ? f ( x ) ; 当 x = 0 时, ? x = 0 , f ( ? x ) = 0 = ? f ( x ) ; 当 x < 0 时, ? x > 0 , f ( ? x ) = ( ? x ) [1 ? ( ? x )] = ? x(1 + x ) = ?作文 f ( x ) . 综上可知,对于任意的实数 x,都有 f ( ? x ) = ? f ( x ) ,所以函数 f ( x ) 为奇函数。

说明

说明 分段函数判断奇偶性,必分段来判断,只有各段为同一结果时函数才有奇偶 性。分段函数判断奇偶性,也可用图象法。 2、抽象函数判断其奇偶性

抽象函数判断其奇偶性: 【例 4】 已知函数 f ( x ) ( x ∈ R 且 x ≠ 0) , 对任意的非零实数 x1 , x 2 , 恒有 f ( x1 ? x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) , 判断函数 f ( x ) ( x ∈ R 且 x ≠ 0) 的奇偶性。 解:函数的定义域为 ( ?∞ , 0) ∪ (0 , + ∞ ) , 令 x1 = x2 = 1 ,得 f (1) = 0 ,令 x1 = x2 = ?1 ,则 2 f ( ?1) = f (1) ,∴ f ( ?1) = 0 , 取 x1 = ?1 , x2 = x ,得 f ( ? x ) = f ( ?1) + f ( x ) , ∴ f ( ? x ) = f ( x ) , 故函数 f ( x ) ( x ∈ R 且 x ≠ 0) 为偶函数。 函数奇偶性的应用 的应用

3、函数奇偶性的应用

求字母的值 母的值

(1) . 求字母的值

【例 5】已知函数 f ( x ) = ax 2 + 1 ( a , b , c ∈ Z ) 是奇函数,又 f (1) = 2 , f (2) < 3 , bx + c 求 a , b , c 的值. 解:由 f ( ? x ) = ? f ( x ) 得 ? bx + c = ? ( bx + c ) ,∴ c = 0 。

又 f (1) = 2 得 a + 1 = 2 b ,而 f (2) < 3 得 ∴ 4a + 1 < 3, 2b 4a + 1 < 3 ,解得 ? 1 < a < 2 。

a +1 又 a ∈ Z ,∴ a = 0 或 a = 1 . 1 若 a = 0 ,则 b = ? Z ,应舍去;若 a = 1 ,则 b = 1 ∈ Z b=1∈Z. Z 2 ∴ a = 1, b = 1, c = 0 。 说明:本题从函数的奇偶性入手,利用函数的思想(建立方 说明 程或不等式,组成混合组),使问题得解.有时也可用特殊值, 如 f(-1)=-f(1),得 c =0。

解不等式

(2) . 解不等式

【例 6】若 f(x)是偶函数,当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,求 f(x -1)<0 的解集。 分析:偶函数的图象关于 y 轴对称,可先作出 f(x)的图象,利用数形结合的方法. 解:画图可知 f(x)<0 的解集为 {x|-1<x<1}, ∴f(x-1)<0 的解集为{x|0<x<2}. 答案:{x|0<x<2} 说明:本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求 f(x)的表达式,再求 f(x 说明 -1)的表达式,最后求不等式的解也可得到结果. (3) . 求函数解析式

函数解析式

【例 7】已知 f(x)是 R 上的奇函数,且 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x). 分析:先设 x>0,求 f(x)的表达式,再合并. 解:∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0. 当 x>0 时,-x<0,f(-x)=xlg(2+x),即-f(x)=xlg(2+x), ∴f(x)=-xlg(2+x) (x>0). ∴ f ( x) = ? ? ? x lg(2 ? x ) ( x < 0) 。

? ? x lg(2 + x ) ( x ≥ 0) 说明:注意自变量在区间上的转化,分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。

说明 三、巩固训练

巩固训练

一、选择题 1.若 y=f(x)在 x∈[0,+∞)上的表达式为 y=x(1-x),且 f(x)为奇函数,则 x∈(-∞,0] 时 f(x)等于 A.-x(1-x) B.x(1+x) C.-x(1+x) D.x(x-1) x e ?1 1+ x , ②y= x ,③ y=3x+3-x,④ y=lg(3x+3-x). 2.已知四个函数:① y = log 2 e +1 1? x 其中为奇函数的是 A.②④ B.①③ C.①④ D.①② 3.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,则在 R 上 f(x)的表达式为 A.-x(x-2) B. x(|x|-2) C.|x|(x-2) D.|x|(|x|-2) 二、填空题 4.已知 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,且定义域为[a-1,2a],则 a=_____________, b=____________. 1 5.若 f ( x ) = x + a (x∈R 且 x≠0)为奇函数,则 2 ?1 a=_______________. 6.已知 f(x)=ax7-bx+2 且 f(-5)=17,则 f(5)=_______________. 7.已知 f ( x ) 是定义在 ( ?3,3) 上的奇函数,当 0 < x < 3 时, f ( x ) 的图像如右图所示,那么不等式 f ( x ) ? cos x < 0 的解集是_____________ 三、解答题 8.已知 G ( x ) = 1? 1 ? ? f ( x ) ? f ( x ) ? 且 x=lnf(x),判定 G(x)的奇偶性。

2? ? 9.已知函数 f(x)满足 f(x+y)+ f(x-y)=2f(x)·f(y)(x、y∈R),且 f(0)≠0,试证 f(x)是偶函数. 10.设函数 f ( x ) 是偶函数,函数 g ( x ) 是奇函数,且 f ( x ) + g ( x ) = 3 ,求 f ( x ) 和 x+3 g ( x ) 的解析表达式。 11.已知 f(x)=x5+ax3-bx-8,f(-2)=10,求 f(2)。 12.已知 f ( x ) 、 ( x ) 都是定义在 R 上的奇函数,若 F ( x ) = af ( x ) + bg ( x ) + 2 在区间 g (0 , + ∞ ) 上的最大值为 5,求 F ( x ) 在区间 ( ?∞ , 0) 上的最小值。

13.已知 f ( x ) 是奇函数,在区间 ( ?2 , 2) 上单调递增,且有 f (2 + a ) + f (1 ? 2a ) > 0 , 求实数 a 的取值范围。

巩固训练参考答案 参考答案

四、巩固训练参考答案

一、选择题 1. 解析:x∈(-∞,0],-x≥0,∴ f(-x)=(-x)(1+x),-f(x)=-x(1+x). ∴f(x)=x(1+x). 答案:B 2. 提示:可运用定义,逐个验算.答案:D 3. 解析:设 x<0,则-x>0, ∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x. ∴ f ( x) = ? 二、填空题 4. 解析:定义域关于原点对称,故 a-1=-2a, a = 又对于 f(x)有 f(-x)=f(x)恒成立,∴b=0. 答案: ? x 2 ? 2 x ( x ≥ 0) ,即 f(x)= x(|x|-2),故答案:B 。

2 ? ? x ? 2 x ( x < 0) 1 , 3 1 , 0 。

3 1 1 1 5. 解析:特值法:∵f(-1)=-f(1) , ? 1 + a = ?( 1 + a) , a = 。

2 ?1 2 ?1 2 1 答案

2 6. 解析:整体思想:f(-5)=a(-5)7- b(-5)+2=17 (a·57- 5b)=-15, ∴ f(5)=a·57-b·5+2=-15+2=-13. 答案:-13 。

7. 解析:∵ f ( x ) 是定义在 ( ?3,3) 上的奇函数,∴ 补充其图像如图,又∵不等式 ? f ( x) > 0 ? f ( x) < 0 π π 或? ,解得 < x < 3 ,或 ? < x < ? 1 或 f ( x ) ? cos x < 0 同解于 ? 2 2 ? cos x < 0 ? cos x > 0 ? π ? ?π ? 0 < x < 1 ,∴不等式 f ( x ) ? cos x < 0 的解集是 ? ? , ? 1 ? ∪ ( 0 , 1 ) ∪ ? , 3 ? ,答案

? 2 ? ?2 ? ? π ? ?π ? ? ? 2 , ? 1 ? ∪ ( 0 , 1) ∪ ? 2 , 3 ? 。

? ? ? ? 三、解答题 8. 解:由 x=lnf(x)得 f(x)=ex. 1? 1 ? 1? x 1 ? 1 x ?x ? f ( x ) ? f ( x ) ? = 2 ?e ? e x ? = 2 (e ? e ) 。

2? ? ? ? 1 1 又 G ( ? x ) = ( e ? x ? e x ) = ? ( e x ? e ? x ) = ? G ( ? x ) ,∴G(x)为奇函数。

2 2 ∴ G( x) = 9. 证明:令 x=y=0,有 f(0)+f(0)=2f2(0). ∵ f(0)≠0,∴f(0)=1. 令 x=0,f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y). ∴ f(-y)=f(y). ∴ f(x)是偶函数. 归纳:赋值法(代入特殊值)在处理一般函数问题时经常用到. 10. 解:∵ f ( x ) + g ( x ) = 3 3 , ? (1) ,∴ f ( ? x ) + g ( ? x ) = x+3 ?x + 3 又∵函数 f ( x ) 是偶函数,函数 g ( x ) 是奇函数,∴ f ( ? x ) = f ( x ) , g ( ? x ) = ? g ( x ) , ∴上式化为 f ( x ) ? g ( x ) = f ( x) = 9 9 ? x2 3 ? (2) ,解 (1) , (2) 组成的方程组得 ?x + 3 3x ( x ∈ R , x ≠ ±3) , g ( x ) = 2 ( x ∈ R , x ≠ ±3) 。

x ?9 分析

11. 分析:问题的结构特征启发我们设法利用奇偶性来解 解:令 g(x)=x5+ax3-bx,则 g(x)是奇函数,所以 g(-2)=g(2), 于是 f(-2)=g(-2)-8, ∴ g(-2)=18. 所以 f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26. 12. 解:设 h( x ) = af ( x ) + bg ( x ) ,则 h( x ) = af ( x ) + bg ( x ) 为奇函数, 因为当 x ∈ (0 , + ∞ ) 时, F ( x ) ≤ 5 , 所以 h( x ) = af ( x ) + bg ( x ) = F ( x ) ? 2 ≤ 3 , 所以当 x ∈ ( ?∞ , 0) 时, F ( x ) ? 2 = h( x ) = af ( x ) + bg ( x ) ≥ ?3 , 即 F ( x ) ≥ ? 1 , 故 F ( x ) 在区间 ( ?∞ , 0) 上的最小值为-1 。

13. 解:因为函数 f ( x ) 是奇函数,所以 f ( ? x ) = ? f ( x ) . 由 f (2 + a ) + f (1 ? 2a ) > 0 得 f (2 + a ) > ? f (1 ? 2a ) ,即 f (2 + a ) > f (2a ? 1) . ? ?2 < 2 + a < 2 1 ? 又 f ( x ) 在区间 ( ?2 , 2) 上单调递增,故得 ? ?2 < 2a ? 1 < 2 ,解得 ? < a < 0 . 2 ? 2 + a > 2a ? 1 ? 所以实数 a 的取值范围为 ( ? 1 , 0) . 2 注意:利用函数的奇偶性、单调性求变量的范围,是函数奇偶性及单调性的逆用, 培养逆向思维能力,判断出 2 + a , 2a ? 1 ∈ ( ?2 , 2) 是解决本题的关键。

第一篇:函数奇偶性

1.3.2 奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 1.结合具体函数,了解函 数奇偶性的含义; 2.掌握判断函数奇偶性的 方法; 3.了解函数奇偶性与图象 的对称性之间的关系. 1.对函数奇偶性概念 的理解.(难点) 2.函数奇偶性的判定 方法.(重点) 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 1.轴对称图形:如果一个图形上的任意一点 直线的对称点仍是这个图形上的点, 关于某一条____ 就称该图形关于该直线成轴对称图形,这条直 对称轴. 线称作该轴对称图形的______ 2.中心对称图形:如果一个图形上的任意一 点关于某一点的对称点仍是这个图形上的点, 就称该图形关于该点成中心对称图形,这个点 对称中心 . 称作该中心对称图形的_________ 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 3.点P(x,f(x))关于原点的对称点P1的坐标为 ( -x,-f(-x)),关于y轴对称点的点P2的坐标 _____________ (-x,f(x)) . 为__________ 1 4.反比例函数 y=x的图象关于原点 ____对称,二 2 y轴 对称. 次函数 y=x 的图象关于____ 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 项目 一般地,如果对 于函数f(x)的定 义域内任意一个 有 f (- x)= x,都_________ 定义 f(x) ,那么函数 ____ f(x)就叫做偶函 数. 必修1 第一章 奇函数 一般地,如果 对于函数f(x)的 定义域内任意 一个x,都有 f(-x)=-f(x) ____________ , 那么函数f(x)就 叫做奇函数. 栏目导引 集合与函数的概念 定义 域 关于原点对称 关于y轴对称 图象 特征 关于原点对称 与单 在对称区间上,单 在对称区间上, 调性 调性相反 单调性相同 关系 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 1.函数f(x)=x2,x∈[0,+∞)的奇偶性是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数,又是偶函数 解析

函数定义域不关于原点对称,所以函 数是非奇非偶函数. 答案

C 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 1 2.函数 f(x)= -x 的图象关于( ) x A.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称 C.直线 y=x 对称 D.坐标原点对称 解析

函数定义域为{x|x≠0} 1 f(-x)=-x+x=-f(x), f(x)是奇函数,所以函数的图象关于原点对称. 答案

D 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 3.设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则a= ________. 答案

-1 4.判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)=x2-2|x|-1; 1 (2)f(x)=x+ 3 . x -x 解析

(1)f(x)的定义域为R, 且满足f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1 = f(x), 从而可知f(x)为偶函数; 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 1 (2)f(x)=x+ 3 的定义域为{x|x≠0 且 x≠± 1}, x -x ? ? 1 1 ? ? x + f( - x) = ( - x) + =- 3 3 ? ?= x -x? ?-x? -?-x? ? -f(x), 所以 f(x)为奇函数. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 简单函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性. 1 3 (1)f(x)=x + ; x (2)f(x)=x4-3x2; 1+ x (3)f(x)=(x-1) ; 1- x (4)f(x)= x2-1+ 1-x2. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 由题目可获取以下主要信息:,①函数f?x?的解 析式均已知;,②判断奇偶性问题.,解答此类题 目应先判断函数定义域是否关于原点对称,然 后再验证f?x?与f?-x?之间的关系来确定奇偶性. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 1 [解题过程] (1)f(x)=x + 的定义域是(-∞, x 0)∪(0,+∞),关于原点对称, 1 1 1 3 3 3 又 f(-x)=(-x) + =-x - =-(x + ) x x ?-x? =-f(x), 1 3 所以 f(x)=x +x是奇函数. (2)f(x)=x4-3x2 的定义域是 R, 关于原点对称, 又 f(-x)=(-x)4-3(-x)2=x4-3x2=f(x), 所以 f(x)=x4-3x2 是偶函数. 3 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 1+x (3)求得 f(x)=(x-1) 的定义域是[-1,1), 1-x 1+x 不关于原点对称,所以 f(x)=(x-1) 是 1-x 非奇非偶函数. (4)f(x)= x2-1+ 1-x2的定义域是{-1,1}, 关于原点对称, 在定义域内化简 f(x)= x2-1+ 1-x2=0, 所以 f(-1)=f(1)=0,且 f(-1)=-f(1)=0, f(x)= x2-1+ 1-x2既是奇函数又是偶函数. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 [题后感悟] (1)利用定义判断函数的奇偶性要 注意以下几点

①必须首先判断f(x)的定义域是否关于原点对 称; ②有些函数必须根据定义域化简后才可判断, 否则可能无法判断或判断错误.如本例(4)中, 若不化简可能会判断为偶函数.注意下面变式 训练中的第(4)小题. ③若判断一个函数为非奇非偶函数,可以举一 个反例即可. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 (2)判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法

①定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函 数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称 ,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判断 f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性. ②图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为 奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶 函数. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 另外,还有如下性质可判定函数奇偶性

偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函 数;奇函数的和、差仍为奇函数,奇(偶)数个奇 函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个 奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用 以上结论时要注意各函数的定义域 ) 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 1.判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)=x3+x5; 2x2+2x (2)f(x)= ; x+ 1 (3)f(x)=|x+1|+|x-1|; 2 1-x (4)f(x)= . |3-x|-3 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 解析

(1)函数定义域为R. f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x). ∴f(x)是奇函数. (2)函数的定义域为{x|x≠-1}.不关于原点对 称, ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)f(x)的定义域是R, 又f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1| = f(x), ∴f(x)是偶函数. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 (4)函数 f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原 点对称, 1-x2 1-x2 ∵f(x)= = . 3-x-3 -x 1-?-x?2 1-x2 ∴f(-x)= = =- f ( x ) , x x 即函数 f(x)是奇函数. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 分段函数的奇偶性判断 ?x2+x+1 ?x<0? 已知 f(x)=? ,判断 2 ?-x +x-1 ?x>0? f(x)的奇偶性. [策略点睛] 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 [ 题 后 感 悟 ] (1) 如 何 判 断 分 段 函 数 f(x) = ?f1?x?, x∈I1 ? ,的奇偶性? ?f2?x?, x∈I2 ①求 f(x)定义域 x∈I1∪I2,判断定义域是否关 于原点对称; ②当-x∈I1 时,求 f(-x),判断 f(-x)与 f(x) 的关系; ③当-x∈I2 时,求 f(-x),判断 f(-x)与 f(x) 的关系; ④结论. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 (2)判断分段函数奇偶性的注意事项

①根据-x所属区间进行分类讨论,只不过经 过转化最后变成了先写x的所属区间; ②f(-x)与f(x)需用不同分段上的解析式,因为 -x与x所属区间不同; ③定义域内的x值应讨论全面,不能遗漏. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 2. 判 断 函 数 ?x-1,x>0, ? ?0,x=0, ? ?x+1,x<0 f(x) = 的奇偶性. 解析

当x<0时,-x>0, f(-x)=-x-1=-(x+1)=-f(x), 另一方面,当x>0时,-x<0, f(-x)=-x+1=-(x-1)=-f(x), 而f(0)=0,∴f(x)是奇函数. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 ?x-2 ?x<0? ? 3.判断函数 f(x)=?0 ?x=0? ? ?-x-2 ?x>0? 的奇偶 性. 解析

①当x>0时,-x<0 f(-x)=-x-2=f(x) ②当x<0时,-x>0 f(-x)=-(-x)-2=x-2 = f(x) ③当x=0时,f(-x)=0=f(x) ∴f(x)是偶函数. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 抽象函数奇偶性的判断 已知函数 f(x)不恒为 0,当 x、y∈R 时, 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). 求证:f(x)是奇函数. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 [解题过程] 函数定义域为R,其定义域关于 原点对称. ∵f(x+y)=f(x)+f(y), ∴令y=-x, 则f(0)=f(x)+f(-x), 再令x=y=0, 则f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 [题后感悟] 如何判断抽象函数的奇偶性? ①明确目标:判断f(-x)与f(x)的关系; ②用赋值法在已知抽象关系中凑出f(-x)与f(x), 如本例中令y=-x; ③用赋值法求特殊函数值,如本例中令x=y= 0,求f(0). 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 4.本例中, 若将条件“f(x+y)=f(x) +f(y)”改为 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)· f(y),其余 不变,求证 f(x)是偶函数. 证明

令x=0,y=x, 则f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x)① 又令x=x,y=0得 f(x)+f(x)=2f(x)·f(0)② ①②得f(-x)=f(x) ∴f(x)是偶函数. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 1.准确理解函数奇偶性定义 (1)①偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一 个x,都有-x∈D,且f(-x)=f(x)(f(-x)=- f(x))”,这表明f(-x) 与f(x)都有意义,即x、-x同时属于定义域. 因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称 的.也就是说,定义域关于坐标原点对称是函 数具有奇偶性的前提条件. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 ②存在既是奇函数又是偶函数的函数,即f(x) =0,x∈D,这里定义域D是关于坐标原点对 称的非空数集. (2)函数按奇偶性可以分为四类:奇函数,偶 函数,既是奇函数又是偶函数,既不是奇函数 又不是偶函数. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 1+x ◎判断函数 f(x)=(x-1) 的奇偶性. 1-x 【错解】 将解析式变形为

21+x f(x)=- ?1-x? =- ?1+x??1-x? 1-x =- 1-x2. ∴f(-x)=- 1-?-x?2=- 1-x2 ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 【错因】 没有考察函数定义域的对称性. 【正解】 因为函数f(x)的定义域-1≤x<1不 关于原点对称,故此函数为非奇非偶函数. 必修1 第一章 集合与函数的概念 栏目导引 练规范、练技能、练速度
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