分式方程的增根

第一篇:分式方程的增根

例谈分式方程的增根与无解 泰州市智堡中学 杨红英 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念,同学们在学习分式方程后, 常作文常会对这两个概念混淆不清,认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事,事实 上并非如此. 分式方程有增根,指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程 中,方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产 生的未知数的值;而分式方程无解则是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相 等.它包含两种情形

(一)原方程化去分母后的整式方程无解; (二)原方程化去分母 后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为 0,它是原方程的增根,从而原方程无 解.现举例说明如下

例 1 解方程 2 4x 3 ? 2 ? . x?2 x ?4 x?2 ① 解:方程两边都乘以(x+2) (x-2) ,得 2(x+2)-4x=3(x-2) .② 解这个方程,得 x=2. 经检验:当 x=2 时,原方程无意义,所以 x=2是原方程的增根. 所以原方程无解. 【说明】显然,方程①中未知数 x 的取值范围是 x≠2 且 x≠-2.而在去分母化为方 程②后,此时未知数 x 的取值范围扩大为全体实数.所以当求得的 x 值恰好使最简公分 母为零时,x 的值就是增根.本题中方程②的解是 x=2,恰好使公分母为零,所以 x=2 是原方程的增根,原方程无解. 例 2 解方程 x ?1 3 ? x ? ? 2. x?2 2? x 解:去分母后化为 x-1=3-x+2(2+x) . 整理得 0x=8. 因为此方程无解,所以原分式方程无解. 【说明】此方程化为整式方程后,本身就无解,当然原分式方程肯定就无解了.由 1 此可见,分式方程无解不一定就是产生增根. x?3 m = 无解,则 m=——————. x?2 2? x x?3 m 解:原方程可化为 =- . x?2 x?2 例 3(2007 湖北荆门)若方程 方程两边都乘以 x-2,得 x-3=-m. 解这个方程,得 x=3-m. 因为原方程无解,所以这个解应是原方程的增根.即 x=2, 所以 2=3-m,解得 m=1. 故当 m=1 时,原方程无解. 【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程,而一元一次方 程只有一个根,所以如果这个根是原方程的增根,那么原方程无解.但是同学们并不能 因此认为有增根的分式方程一定无解,随着以后所学知识的加深,同学们便会明白其中 的道理,此处不再举例. 例 4 当 a 为何值时,关于 x 的方程 2 ax 3 ? 2 ? ①会产生增根? x?2 x ?4 x?2 解:方程两边都乘以(x+2) (x-2) ,得 2(x+2)+ax=3(x-2) 整理得(a-1)x=-10 ② 若原分式方程有增根,则 x=2 或-2 是方程②的根. 把 x=2 或-2 代入方程②中,解得,a=-4 或 6. 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程,然后找出使公分母为零的未知 数的值即为增根,最后将增根代入转化得到的整式方程中,求出原方程中所含字母的值. 若将此题“会产生增根”改为“无解” ,即: 当 a 为何值时,关于 x 的方程 2 ax 3 ? 2 ? ①无解? x?2 x ?4 x?2 此时还要考虑转化后的整式方程(a-1)x=-10 本身无解的情况,解法如下

解:方程两边都乘以(x+2) (x-2) ,得 2(x+2)+ax=3(x-2) 2 整理得(a-1)x=-10 若原方程无解,则有两种情形: ② (1)当 a-1=0(即 a=1)时,方程②为 0x=-10,此方程无解,所以原方程无解。

(2)如果方程②的解恰好是原分式方程的增根,那么原分式方程无解.原方程若有 增根,增根为 x=2 或-2,把 x=2 或-2 代入方程②中,求出 a=-4 或 6. 综上所述,a=1 或 a=一4或 a=6 时,原分式方程无解. 结论:弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确 性,对判断方程解的情况有一定的指导意义. 3

第一篇:分式方程的增根

与分式方程根有关的问题分类举例 与分式方程的根有关的问题,在近年的中考试题中时有出现,现结合近年的中 考题分类举例,介绍给读者,供学习、复习有关内容时参考。

1. 已知分式方程有增根,求字母系数的值 解答此类问题必须明确增根的意义

(1)增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。

(2)增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。

利用(1)可以确定出分式方程的增根,利用(2)可以求出分式方程有增根时 的字母系数的值。

例 1. (2000 年潜江市) 使关于 x 的方程 a 2 ? 2 x ? 4 2a 2 ? 产生增根的 a 的值是( x?2 2?x ) A. 2 B. -2 解:去分母并整理,得: C. ?2 D. 与 a 无关 ?a 2 ?2 x?4 ? 0 ? ?1? 因为原方程的增根为 x=2,把 x=2 代入<1>,得 a2=4 所以 a ? ?2 故应选 C。

例 2. (1997 年山东省) 2x m?1 x ?1 ? 2 ? 若解分式方程 产生增根,则 m 的值是( x ?1 x ? x x A. -1 或-2 B. -1 或 2 C. 1 或 2 D. 1 或-2 解:去分母并整理,得: ) x 2 ? 2x ? 2 ? m ? 0 ?1? 又原方程的增根是 x=0 或 x ? ?1,把 x=0 或 x=-1 分别代入<1>式,得

m=2 或 m=1 故应选 C。

例 3. (2001 年重庆市) ax ? 1 ? 1 ? 0 有增根,则 a 的值为__________。

若关于 x 的方程 x ?1 解:原方程可化为

?a ? 1?x ? 2 ? 0 ?1? 又原方程的增根是 x ? 1,把 x ? 1代入<1>,得

a ? ?1 故应填“ ?1” 。 例 4. (2001 年鄂州市) x k ?2? 关于 x 的方程 会产生增根,求 k 的值。

x?3 x?3 解:原方程可化为

x ? 2? x ? 3? ? k ?1? 又原方程的增根为 x=3,把 x=3 代入<1>,得

k=3 例 5. 当 k 为何值时,解关于 x 的方程

x=1。

解:原方程可化为: ?k ? 1?x 只有增根 1 k ?5 ? ? 2 x? x ? 1? x? x ? 1? x ?1 ?x ? 1? ? ?k ? 5??x ? 1? ? ?k ? 1?x 2 ?1? 把 x=1 代入<1>,得 k=3 所以当 k=3 时,解已知方程只有增根 x=1。

评注:由以上几例可知,解答此类问题的基本思路是

(1)将所给方程化为整式方程; (2)由所给方程确定增根(使分母为零的未知数的值或题目给出) ; (3)将增根代入变形后的整式方程,求出字母系数的值。

2. 已知分式方程根的情况,求字母系数的值或取值范围 例 6. (2002 年荆门市) x k ? 2x ? 2 当 k 的值为_________(填出一个值即可)时,方程 只有一个实 x ?1 x ? x 数根。

解:原方程可化为

x 2 ? 2 x ? k ? 0 ?1? 要原方程只有一个实数根,有下面两种情况

( 1 ) 当 方 程 <1> 有 两 个 相 等 的 实 数 根 , 且 不 为 原 方 程 的 增 根 , 所 以 由 ? ? 4 ? 4 k ? 0 得 k=-1。当 k=-1 时,方程<1>的根为 x1 ? x2 ? ?1 ,符合题意。 (2)方程<1>有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根,所以由 ? ? 4 ? 4 k ? 0 ,得 k>-1。又原方程的增根为 x=0 或 x=1,把 x=0 或 x=1 分别代入 <1>得 k=0,或 k=3,均符合题意。

综上所述:可填“-1、0、3”中的任何一个即可。

例 7. (2002 年孝感市) 2 x?m 1 ? 1? 当 m 为何值时,关于 x 的方程 ? 2 无实根? x x ?x x ?1 解:原方程可化为: x2 ? x ? 2 ? m ? 0 ?1? 要原方程无实根,有下面两种情况: 7 ; 4 (2)方程<1>的实数解均为原方程的增根时,原方程无实根,而原方程的增根 为 x=0 或 x=1,把 x=0 或 x=1 分别代入<1>得 m=2。

7 综上所述:当 m ? 或当 m=2 时,所给方程无实数解。

4 例 8. (2003 年南昌市) 1 m ? m 有实数根,求 m 的取值范围。

已知关于 x 的方程 ? x x ?1 (1)方程<1>无实数根,由 ? ? ??1? ? 4?2 ? m? ? 0 ,得 m ? 2 解:原方程化为

mx 2 ? x ? 1 ? 0 ?1? 要原方程有实数根,只要方程<1>有实数根且至少有一个根不是原方程的增根 即可。

(1)当 m=0 时,有 x=1,显然 x=1 是原方程的增根,所以 m=0 应舍去。

1 (2)当 m ? 0 时,由 ? ? 1 ? 4m ? 0 ,得 m ? 。

4 又原方程的增根为 x=0 或 x=1,当 x=0 时,方程<1>不成立;当 x ? 1,m ? 0 。 1 且 m ? 0 时,所给方程有实数根。

4 评注:由以上三例可知,由分式方程根的情况,求字母系数的值或取值范围的 基本思路是

(1)将所给方程化为整式方程; (2) 根据根的情况, 由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围, 注意排除使原方程有增根的字母系数的值。

3. 已知分式方程无增根,求字母系数的取值范围 综上所述:当 m ? x ?1 x ? 2 2 x 2 ? ax 例 9. 当 a 取何值时,解关于 x 的方程

无增根? ? ? x ? 2 x ? 1 ? x ? 2?? x ? 1? 解:原方程可化为: 2 x 2 ? ax ? 3 ? 0 ?1? 又原方程的增根为 x=2 或 x ? ?1,把 x=2 或 x ? ?1分别代入<1>得

5 a ? ? 或 a ? ?1 2 又由 ? ? a 2 ? 24 ? 0 知,a 可以取任何实数。 5 且 a ? ?1 时,解所给方程无增根。

2 评注:解答此类问题的基本思路是

(1)将已知方程化为整式方程; 所以,当 a ? ? (2) 由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母 系数的取值范围; (3)从有实数根的范围里排除有增根的值,即得无增根的取值范围。

4. 已知分式方程根的符号,求字母系数的取值范围 x?a ? ?1 的根大于 0,求 a 的取值范围。

例 9. 已知关于 x 的方程 x?2 解:原方程可化为

2x ? 2 ? a a 所以 x ? 1 ? 2 由题意,得

a a 1 ? ? 0 且1 ? ? 2 2 2 所以 a ? 2 且 a ? ?2 x?k ? 2 的根小于 0,求 k 的取值范围。

例 10. 已知关于 x 的方程 x?2 解:原方程可化为

x ? k ? 2 x ? 4 所以 x ? k ? 4 由题意,得

k ? 4 ? 0 所以 k ? ?4 评注:解答此类题的基本思路是

(1)求出已知方程的根; (2)由已知建立关于字母系数的不等式,求出字母系数的取值范围,注意排除 使原方程有增根的字母系数的值。

a 说明:注意例 9 与例 10 的区别,例 9 有 1 ? ? 2 ,而例 10 无 k ? 4 ? 2 这一不 2 等式?请读者思考。

第一篇:分式方程的增根

分式方程的增根专题练习 一、选择题(共 10 小题) 1.若分式方程 A.1 2.如果方程 A.1 3.若关于 x 的方程 A.1 4.若关于 x 的方程 A.﹣2 5.若方程 A.﹣1 6.解关于 x 的方程 A.﹣1 7.若分式方程 A.1 8.若关于 x 的方程 A.m=﹣1 B.m=1 B.﹣2 B.2 B.﹣1 = B.2 B.﹣1 有增根,则增根可能是( C.1 或﹣1 ) D.7 ) D.4 ) D.3 ) D.6 ) ) D.0 有增根,那么 k 的值( 1 C.± 产生增根,则 m 是( C.3 有增根,则 m 的值是( C.5 =7 有增根,则 k=( B.0 C.1 产生增根,则常数 m 的值等于( C.1 ) D.﹣3 ) D.m=2 D.2 有增根,则 m 的值为( B.﹣1 C.3 产生增根,则 m 的值是( C.m=﹣2 9. (2005?宿迁)若关于 x 的方程 A.3 10.若分式方程 A.﹣1 或 1 B.﹣1 或 2 B.2 C.1 有增根,则 m 的值是( D.﹣1 ) D.1 或﹣2 ) 有增根,则 m 的值是( C.1 或 2 二、填空题(共 10 小题) (除非特别说明,请填准确值) 11.使分式方程 产生增根,m 的值为 _________ . 12.分式方程 _________ . +1= 有增根,则 m= _________ .13.若分式方程 +3= 有增根,则增根为 x= 14.若去分母解方程 =2﹣ 时,出现增根,则增根为 _________ . 15.解关于 x 的方程 产生增根,则常数 m 的值等于 _________ . 16.若 有增根,则增根为 _________ . 17.若关于 x 的方程 18.若方程 =2+ ﹣1=0 有增根,则 a 的值为 _________ . 有增根,则增根为 x= _________ . 19.若关于 x 的分式方程 20.当 m= _________ 时,方程 有增根,则 m 的值为 _________ . 会产生增根. 三、解答填空题(共 10 小题) (除非特别说明,请填准确值) 21.已知关于 x 的方程 有增根,则 k= _________ . 22.若关于 x 的方程 有增根,则 k= _________ . 23.a= _________ 时,方程 =2+ 会产生增根. 24.a 为 _________ 时,关于 x 的方程 会产生增根. 25.若关于 x 的方程 有增根,那么关于 y 的不等式 5(y﹣2)≤28+k+2y 的解集是 _________ . 26.已知关于 x 的方程 有增根,那么 m= _________ . 27.当 m= _________ 时,去分母解方程 =1﹣ 会产生增根. 28.分式方程 +3= 有增根. (1)这个增根是 _________ ; (2)m 的值为 _________ . 29.若解关于 x 的分式方程 会产生增根,则 m= _________ . 30.若分式方程 ﹣ = 有增根,则 k= _________ ,增根是 _________ .
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